Różnice

Różnice między wybraną wersją a wersją aktualną.

Odnośnik do tego porównania

przedmioty:rownania_rozniczkowe_i_roznicowe [2006/11/23 16:53] (aktualna)
Linia 1: Linia 1:
 +====== Równania Różniczkowe i Różnicowe ======
 +  * Warunki Cauchie'​go
 +  * Twierdzenie Cauchie'​go
 +  * **Równania typów**:
 +    - **o zmiennych rozdzielonych**\\ <m>y prime = f(x)g(x)</​m>​\\ Zamienić na różniczki <​m>​dy/​dx</​m>,​ rozdzielić stronami, scałkować stronami
 +    - **jednorodne** <m>y prime = f(y/​x)</​m>​\\ podstawić <​m>​v=y/​x ​  ; ​  y=v x  ;  dy/dx = x dv/dx + v</m> <- to podstawić, aby otrzymać o zmiennych rozdzielonych
 +    - **liniowe** <m>y prime + p(x) y = g(x)</​m>​
 +        * **liniowe jednorodne** gdy g(x) = 0 => jednorodne.\\ czyli można zastosować **1**)\\ Rozwiazaniem jest <​m>​y_0 = C e^{-int{}{}{p(x)dx}}</​m>​
 +        * **liniowe niejednorodne** gdy <​m>​g(x)<>​0</​m>​\\ Rozwiązać najpierw równanie uproszczone,​ by mieć <​m>​y_0</​m>​ (dla jednorodnego). ​
 +          * metoda przewidywań -  da się zastosować jeżeli <​m>​p(x)=const wedge g(x)=W_n(x) e^{alpha x}(matrix{2}{1}{{cos(beta x)} {sin(beta x)}})</​m>​\\ Jeżeli <​m>​lambda = alpha + i beta = -p</​m>,​ to rozwiązanie pomnożyć razy x. Uwaga: cos i sin "​chodzą parami"​
 +          * metoda uzmienniania stałej\\ znaleźć <​m>​y_0 prime</​m>​ i <​m>​y_0</​m>​ dla uproszczonego\\ podstawić do liniowego i wyznaczyć <m>C prime (x)</​m>​\\ scałkować,​ by znaleźć C(x) i mieć pewne <​m>​y_s</​m>​.\\ Rozwiązaniem jest <​m>​y_0 + y_s</​m>​ (zgodnie z twierdzeniem).
 +    - **Bernoulliego**\\ <m>y prime + p(x) y = g(x) y^alpha</​m>​\\ Pomnożyć stronami przez <​m>​y^-alpha</​m>​\\ <m>z = y^{1-alpha}</​m>​\\ <​m>​z(x)=[y(x)]^{1-alpha}</​m>​ różniczkować po dx, podstawić, aby uzyskać liniowe dla z(x)
 +    - **zupełne**\\ <​m>​dy/​dx + {P(x,​y)}/​{Q(x,​y)}=0 ​ (P(x,​y)dx+Q(x,​y)dy=0)</​m>​.\\ Jeżeli <​m>​P_y prime = Q_x prime wedge D_P inter D_Q jest jednospójny</​m>,​ to f jest zupełna na D\\ Robimy układ równań:\\ <​m>​matrix{2}{1}{{F_x prime(x,​y)=P(x,​y)} {F_y prime(x,y) = Q(x,​y)}}</​m>​\\ Pierwsze całkujemy po dx i mamy <​m>​F(x,​y,​g(y))</​m>​ (*), które różniczkujemy po y i przyrównujemy do <​m>​F_y prime</​m>,​ by wyznaczyć g(y).\\ Drugie podstawiamy do (*) i mamy rozw. <​m>​F(x,​y)=C</​m>​\\ Rozwiązaniem jest F=C <m>C in bbR</​m>​
 +    - Jeżeli <​m>​P_y prime <> Q_x prime</​m>​ to:​**szukamy czynnika całkującego**:​\\ <​m>​{Q_x prime - P_y prime}/{P} = B(y) doubleright mu=e^{int{}{}{B(y)dy}}</​m>​\\ <​m>​{P_y prime - Q_x prime}/{Q} = A(x) doubleright mu = e^{int{}{}{A(x)dx}}</​m>​\\ I teraz mamy r. zupełne: <m>mu P(x,y)dx + mu Q(x,y)dy = 0</​m>​\\ <​m>​mu</​m>​ to czynnik całkujący
 +    - **liniowe rzędu drugiego**\\ <m>y prime prime + p_1(x)y prime + p_2(x)y = q(x)</​m>​
 +      - jednorodne\\ piszemy równanie charakterystyczne i rozwiązujemy.
 +        * 2 pierw., krotnosc=1 => rozwiązania:​ <​m>​varphi_1=e^{-int{}{}{p dx}}</​m>​ i <​m>​varphi_2=e^{int{}{}{p dx}}</​m>​
 +        * 1 pierw., krotnosc=2 => rozwiązania:​ <​m>​varphi_1=e^{int{}{}{p dx}}</​m>​ i <​m>​varphi_2=x e^{int{}{}{p dx}}</​m>​
 +        * <​m>​Delta<​0</​m>​ => rozw: <​m>​varphi_1=e^{Re px}sin(Im px)</​m>​ i <​m>​varphi_2=e^{Re px}cos(Im px)</​m>​
 +      - niejednorodne:​\\ Najpierw rozwiązać dla uproszczonego (jednorodnego,​ jak powyżej)\\ Dalej można metodę przewidywań lub uzmienniania stałej jak dla 1-go rzędu.\\ jeżeli <​m>​lambda = alpha + i beta</​m>​ był pierw. r. charakterystycznego w met. przewidywań,​ to rozwiązanie pomnożyć przez x\\ Uzmienniania stalej: rozwiązać układ względem <​m>​c_1,​ c_2</​m>:​\\ <​m>​matrix{2}{1}{{c_1 prime varphi_1(x) + c_2 prime varphi_2(x) = 0} {c_1 prime varphi_1 prime(x) + c_2 prime varphi_2 prime(x) = q(x)}}</​m>​\\ Uzyskać <​m>​y_s=c_1 varphi_1 + c_2 varphi_2</​m>​\\ Rozwiązaniem ogólnym będzie <​m>​y=y_0 + y_s</​m>​
 +    - **liniowe wyższych rzędów**
 +      * równanie charakterystyczne
 +      * wrońskian funkcji
 +    - **układy równań rózniczkowych**:​\\ np metoda eliminacji:​\\ wyznaczyć np. x=... z któregoś równania niezależnie od <m>x prime, x prime prime, ...</​m>​.\\ zróżniczkować po zmiennej niezależnej\\ podstawić do drugiego równania, by uzyskać równanie liniowe II rzędu.
 +      * niestety powyższego nie zawsze da się zastosować.\\ jeśli się nie da, to należy zrobić metodę równania charakterystycznego - a dokładniej równania charakterystycznego macierzy układu, np:\\ <​m>​delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{dx/​dt=-2x+0y} {dy/​dt=0x-8y}}}{rbrace}</​m>​\\ Robimy z tego macierz równania:<​m>​delim{[}{matrix{2}{2}{{-2}{0}{0}{-8}}}{]}</​m>​\\ Szukamy teraz pierwsiatków r (lambda) równania: <​m>​delim{|}{A-lambda I}{|}=0</​m>​\\ I teraz rozwiązanie układu równań to\\ <​m>​rozw = sum{i=1}{ilość pier}{e^{r_i t}}delim{(}{sum{J=0}{krotność-1}{(A-r_i I)^J  Y_0}}{)}</​m>​\\ ten wzóry jest chyba __wyłącznie__ dla przypadku wielokrotnych pierwiastków. w innym razie działa źle.
 +      * jeśli krotność pierwiastków równania charakterystycznego jest 1, to rozwiązaniem jest\\ <​m>​delim{[}{matrix{2}{1}{{x(t)}{y(t)}}}{]}=c_1 varphi_1(t) + c_2 varphi_2(t)</​m>​
 +        * <​m>​varphi(t) = delim{[}{matrix{2}{1}{{u}{v}}}{]}e^{pierw * t}</​m>​ [a może coś jeszce bardziej ogólniejszego tu powinno być?]
 +        * <​m>​delim{[}{matrix{2}{1}{{u}{v}}}{]}</​m>​ to wektory własne macierzy A
 +  * Warunek Lipschitz'​a
 +  * układ fundamentalny
 +  * metoda całek pierwszych
 +  * całkowanie za pomocą szeregów potęgowych
 +
 +===== Ogólnie rozwiązywanie Równań różniczkowych:​ =====
 +  - ustalenie dziedziny
 +  - ustalenie typu równania
 +  - postępowanie w zależności od typu
  
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Minima Template by Wikidesign Driven by DokuWiki