Równania Różniczkowe i Różnicowe

  • Warunki Cauchie'go
  • Twierdzenie Cauchie'go
  • Równania typów:
    1. o zmiennych rozdzielonych
      <m>y prime = f(x)g(x)</m>
      Zamienić na różniczki <m>dy/dx</m>, rozdzielić stronami, scałkować stronami
    2. jednorodne <m>y prime = f(y/x)</m>
      podstawić <m>v=y/x ; y=v x ; dy/dx = x dv/dx + v</m> ← to podstawić, aby otrzymać o zmiennych rozdzielonych
    3. liniowe <m>y prime + p(x) y = g(x)</m>
      • liniowe jednorodne gdy g(x) = 0 ⇒ jednorodne.
        czyli można zastosować 1)
        Rozwiazaniem jest <m>y_0 = C e^{-int{}{}{p(x)dx}}</m>
      • liniowe niejednorodne gdy <m>g(x)<>0</m>
        Rozwiązać najpierw równanie uproszczone, by mieć <m>y_0</m> (dla jednorodnego).
        • metoda przewidywań - da się zastosować jeżeli <m>p(x)=const wedge g(x)=W_n(x) e^{alpha x}(matrix{2}{1}{{cos(beta x)} {sin(beta x)}})</m>
          Jeżeli <m>lambda = alpha + i beta = -p</m>, to rozwiązanie pomnożyć razy x. Uwaga: cos i sin „chodzą parami”
        • metoda uzmienniania stałej
          znaleźć <m>y_0 prime</m> i <m>y_0</m> dla uproszczonego
          podstawić do liniowego i wyznaczyć <m>C prime (x)</m>
          scałkować, by znaleźć C(x) i mieć pewne <m>y_s</m>.
          Rozwiązaniem jest <m>y_0 + y_s</m> (zgodnie z twierdzeniem).
    4. Bernoulliego
      <m>y prime + p(x) y = g(x) y^alpha</m>
      Pomnożyć stronami przez <m>y^-alpha</m>
      <m>z = y^{1-alpha}</m>
      <m>z(x)=[y(x)]^{1-alpha}</m> różniczkować po dx, podstawić, aby uzyskać liniowe dla z(x)
    5. zupełne
      <m>dy/dx + {P(x,y)}/{Q(x,y)}=0 (P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0)</m>.
      Jeżeli <m>P_y prime = Q_x prime wedge D_P inter D_Q jest jednospójny</m>, to f jest zupełna na D
      Robimy układ równań:
      <m>matrix{2}{1}{{F_x prime(x,y)=P(x,y)} {F_y prime(x,y) = Q(x,y)}}</m>
      Pierwsze całkujemy po dx i mamy <m>F(x,y,g(y))</m> (*), które różniczkujemy po y i przyrównujemy do <m>F_y prime</m>, by wyznaczyć g(y).
      Drugie podstawiamy do (*) i mamy rozw. <m>F(x,y)=C</m>
      Rozwiązaniem jest F=C <m>C in bbR</m>
    6. Jeżeli <m>P_y prime <> Q_x prime</m> to:szukamy czynnika całkującego:
      <m>{Q_x prime - P_y prime}/{P} = B(y) doubleright mu=e^{int{}{}{B(y)dy}}</m>
      <m>{P_y prime - Q_x prime}/{Q} = A(x) doubleright mu = e^{int{}{}{A(x)dx}}</m>
      I teraz mamy r. zupełne: <m>mu P(x,y)dx + mu Q(x,y)dy = 0</m>
      <m>mu</m> to czynnik całkujący
    7. liniowe rzędu drugiego
      <m>y prime prime + p_1(x)y prime + p_2(x)y = q(x)</m>
      1. jednorodne
        piszemy równanie charakterystyczne i rozwiązujemy.
        • 2 pierw., krotnosc=1 ⇒ rozwiązania: <m>varphi_1=e^{-int{}{}{p dx}}</m> i <m>varphi_2=e^{int{}{}{p dx}}</m>
        • 1 pierw., krotnosc=2 ⇒ rozwiązania: <m>varphi_1=e^{int{}{}{p dx}}</m> i <m>varphi_2=x e^{int{}{}{p dx}}</m>
        • <m>Delta<0</m> ⇒ rozw: <m>varphi_1=e^{Re px}sin(Im px)</m> i <m>varphi_2=e^{Re px}cos(Im px)</m>
      2. niejednorodne:
        Najpierw rozwiązać dla uproszczonego (jednorodnego, jak powyżej)
        Dalej można metodę przewidywań lub uzmienniania stałej jak dla 1-go rzędu.
        jeżeli <m>lambda = alpha + i beta</m> był pierw. r. charakterystycznego w met. przewidywań, to rozwiązanie pomnożyć przez x
        Uzmienniania stalej: rozwiązać układ względem <m>c_1, c_2</m>:
        <m>matrix{2}{1}{{c_1 prime varphi_1(x) + c_2 prime varphi_2(x) = 0} {c_1 prime varphi_1 prime(x) + c_2 prime varphi_2 prime(x) = q(x)}}</m>
        Uzyskać <m>y_s=c_1 varphi_1 + c_2 varphi_2</m>
        Rozwiązaniem ogólnym będzie <m>y=y_0 + y_s</m>
    8. liniowe wyższych rzędów
      • równanie charakterystyczne
      • wrońskian funkcji
    9. układy równań rózniczkowych:
      np metoda eliminacji:
      wyznaczyć np. x=… z któregoś równania niezależnie od <m>x prime, x prime prime, …</m>.
      zróżniczkować po zmiennej niezależnej
      podstawić do drugiego równania, by uzyskać równanie liniowe II rzędu.
      • niestety powyższego nie zawsze da się zastosować.
        jeśli się nie da, to należy zrobić metodę równania charakterystycznego - a dokładniej równania charakterystycznego macierzy układu, np:
        <m>delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{dx/dt=-2x+0y} {dy/dt=0x-8y}}}{rbrace}</m>
        Robimy z tego macierz równania:<m>delim{[}{matrix{2}{2}{{-2}{0}{0}{-8}}}{]}</m>
        Szukamy teraz pierwsiatków r (lambda) równania: <m>delim{|}{A-lambda I}{|}=0</m>
        I teraz rozwiązanie układu równań to
        <m>rozw = sum{i=1}{ilość pier}{e^{r_i t}}delim{(}{sum{J=0}{krotność-1}{(A-r_i I)^J Y_0}}{)}</m>
        ten wzóry jest chyba wyłącznie dla przypadku wielokrotnych pierwiastków. w innym razie działa źle.
      • jeśli krotność pierwiastków równania charakterystycznego jest 1, to rozwiązaniem jest
        <m>delim{[}{matrix{2}{1}{{x(t)}{y(t)}}}{]}=c_1 varphi_1(t) + c_2 varphi_2(t)</m>
        • <m>varphi(t) = delim{[}{matrix{2}{1}{{u}{v}}}{]}e^{pierw * t}</m> [a może coś jeszce bardziej ogólniejszego tu powinno być?]
        • <m>delim{[}{matrix{2}{1}{{u}{v}}}{]}</m> to wektory własne macierzy A
  • Warunek Lipschitz'a
  • układ fundamentalny
  • metoda całek pierwszych
  • całkowanie za pomocą szeregów potęgowych

Ogólnie rozwiązywanie Równań różniczkowych:

  1. ustalenie dziedziny
  2. ustalenie typu równania
  3. postępowanie w zależności od typu
przedmioty/rownania_rozniczkowe_i_roznicowe.txt · ostatnio zmienione: 2006/11/23 16:53 (edycja zewnętrzna)
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Minima Template by Wikidesign Driven by DokuWiki