Równania Różniczkowe i Różnicowe
- Warunki Cauchie'go
- Twierdzenie Cauchie'go
- Równania typów:
- o zmiennych rozdzielonych
<m>y prime = f(x)g(x)</m>
Zamienić na różniczki <m>dy/dx</m>, rozdzielić stronami, scałkować stronami - jednorodne <m>y prime = f(y/x)</m>
podstawić <m>v=y/x ; y=v x ; dy/dx = x dv/dx + v</m> ← to podstawić, aby otrzymać o zmiennych rozdzielonych - liniowe <m>y prime + p(x) y = g(x)</m>
- liniowe jednorodne gdy g(x) = 0 ⇒ jednorodne.
czyli można zastosować 1)
Rozwiazaniem jest <m>y_0 = C e^{-int{}{}{p(x)dx}}</m> - liniowe niejednorodne gdy <m>g(x)<>0</m>
Rozwiązać najpierw równanie uproszczone, by mieć <m>y_0</m> (dla jednorodnego).- metoda przewidywań - da się zastosować jeżeli <m>p(x)=const wedge g(x)=W_n(x) e^{alpha x}(matrix{2}{1}{{cos(beta x)} {sin(beta x)}})</m>
Jeżeli <m>lambda = alpha + i beta = -p</m>, to rozwiązanie pomnożyć razy x. Uwaga: cos i sin „chodzą parami” - metoda uzmienniania stałej
znaleźć <m>y_0 prime</m> i <m>y_0</m> dla uproszczonego
podstawić do liniowego i wyznaczyć <m>C prime (x)</m>
scałkować, by znaleźć C(x) i mieć pewne <m>y_s</m>.
Rozwiązaniem jest <m>y_0 + y_s</m> (zgodnie z twierdzeniem).
- Bernoulliego
<m>y prime + p(x) y = g(x) y^alpha</m>
Pomnożyć stronami przez <m>y^-alpha</m>
<m>z = y^{1-alpha}</m>
<m>z(x)=[y(x)]^{1-alpha}</m> różniczkować po dx, podstawić, aby uzyskać liniowe dla z(x) - zupełne
<m>dy/dx + {P(x,y)}/{Q(x,y)}=0 (P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0)</m>.
Jeżeli <m>P_y prime = Q_x prime wedge D_P inter D_Q jest jednospójny</m>, to f jest zupełna na D
Robimy układ równań:
<m>matrix{2}{1}{{F_x prime(x,y)=P(x,y)} {F_y prime(x,y) = Q(x,y)}}</m>
Pierwsze całkujemy po dx i mamy <m>F(x,y,g(y))</m> (*), które różniczkujemy po y i przyrównujemy do <m>F_y prime</m>, by wyznaczyć g(y).
Drugie podstawiamy do (*) i mamy rozw. <m>F(x,y)=C</m>
Rozwiązaniem jest F=C <m>C in bbR</m> - Jeżeli <m>P_y prime <> Q_x prime</m> to:szukamy czynnika całkującego:
<m>{Q_x prime - P_y prime}/{P} = B(y) doubleright mu=e^{int{}{}{B(y)dy}}</m>
<m>{P_y prime - Q_x prime}/{Q} = A(x) doubleright mu = e^{int{}{}{A(x)dx}}</m>
I teraz mamy r. zupełne: <m>mu P(x,y)dx + mu Q(x,y)dy = 0</m>
<m>mu</m> to czynnik całkujący - liniowe rzędu drugiego
<m>y prime prime + p_1(x)y prime + p_2(x)y = q(x)</m>- jednorodne
piszemy równanie charakterystyczne i rozwiązujemy.- 2 pierw., krotnosc=1 ⇒ rozwiązania: <m>varphi_1=e^{-int{}{}{p dx}}</m> i <m>varphi_2=e^{int{}{}{p dx}}</m>
- 1 pierw., krotnosc=2 ⇒ rozwiązania: <m>varphi_1=e^{int{}{}{p dx}}</m> i <m>varphi_2=x e^{int{}{}{p dx}}</m>
- <m>Delta<0</m> ⇒ rozw: <m>varphi_1=e^{Re px}sin(Im px)</m> i <m>varphi_2=e^{Re px}cos(Im px)</m>
- niejednorodne:
Najpierw rozwiązać dla uproszczonego (jednorodnego, jak powyżej)
Dalej można metodę przewidywań lub uzmienniania stałej jak dla 1-go rzędu.
jeżeli <m>lambda = alpha + i beta</m> był pierw. r. charakterystycznego w met. przewidywań, to rozwiązanie pomnożyć przez x
Uzmienniania stalej: rozwiązać układ względem <m>c_1, c_2</m>:
<m>matrix{2}{1}{{c_1 prime varphi_1(x) + c_2 prime varphi_2(x) = 0} {c_1 prime varphi_1 prime(x) + c_2 prime varphi_2 prime(x) = q(x)}}</m>
Uzyskać <m>y_s=c_1 varphi_1 + c_2 varphi_2</m>
Rozwiązaniem ogólnym będzie <m>y=y_0 + y_s</m>
- liniowe wyższych rzędów
- równanie charakterystyczne
- wrońskian funkcji
- układy równań rózniczkowych:
np metoda eliminacji:
wyznaczyć np. x=… z któregoś równania niezależnie od <m>x prime, x prime prime, …</m>.
zróżniczkować po zmiennej niezależnej
podstawić do drugiego równania, by uzyskać równanie liniowe II rzędu.- niestety powyższego nie zawsze da się zastosować.
jeśli się nie da, to należy zrobić metodę równania charakterystycznego - a dokładniej równania charakterystycznego macierzy układu, np:
<m>delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{dx/dt=-2x+0y} {dy/dt=0x-8y}}}{rbrace}</m>
Robimy z tego macierz równania:<m>delim{[}{matrix{2}{2}{{-2}{0}{0}{-8}}}{]}</m>
Szukamy teraz pierwsiatków r (lambda) równania: <m>delim{|}{A-lambda I}{|}=0</m>
I teraz rozwiązanie układu równań to
<m>rozw = sum{i=1}{ilość pier}{e^{r_i t}}delim{(}{sum{J=0}{krotność-1}{(A-r_i I)^J Y_0}}{)}</m>
ten wzóry jest chyba wyłącznie dla przypadku wielokrotnych pierwiastków. w innym razie działa źle. - jeśli krotność pierwiastków równania charakterystycznego jest 1, to rozwiązaniem jest
<m>delim{[}{matrix{2}{1}{{x(t)}{y(t)}}}{]}=c_1 varphi_1(t) + c_2 varphi_2(t)</m>- <m>varphi(t) = delim{[}{matrix{2}{1}{{u}{v}}}{]}e^{pierw * t}</m> [a może coś jeszce bardziej ogólniejszego tu powinno być?]
- <m>delim{[}{matrix{2}{1}{{u}{v}}}{]}</m> to wektory własne macierzy A
- Warunek Lipschitz'a
- układ fundamentalny
- metoda całek pierwszych
- całkowanie za pomocą szeregów potęgowych
Ogólnie rozwiązywanie Równań różniczkowych:
- ustalenie dziedziny
- ustalenie typu równania
- postępowanie w zależności od typu
