Matematyka III
- Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.
- Zbiory otwarte i punkty wewnętrzne zbioru.
- kula
- metryka
- zbiór ograniczony
- zbiór domknięty
pochodna zbioru zawiera się w zbiorze - zbiór spojny
- obszar
spójny i otwarty - punkt
- wewnętrzny
- zewnętrzny
- brzegowy
- skupienia
każde sąsiedztwo punktu zawiera punkty zbioru A
- otoczenie i sąsiedztwo
- Granica ciągu w <m>bbR^n</m>. Punkty skupienia.
punkt q zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu - Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
- pochodna kierunkowa
<m>f prime_h(a)=lim{t right 0}{{f(a+t h)-f(a)}/t} = varphi prime(0)</m>
pochodna kierunkowa jest jednorodna i addytywna
istnienie pochodnych kierunkowych we wszystkich kierunkach nie implikuje ciągłości
pochodną kierunkową znaleźć najłatwiej mnożąć gradient przez wektor kierunku! - Pochodne cząstkowe. Funkcje różniczkowalne i klasy C1.
- pochodne kierunkowe w kierunku wersorów
- pochodna mocna (Frecheta)
<m>varphi</m> jest pochodną mocną, gddy
<m>lim{x right a}{{f(x)-f(a)-varphi(x-a)}/{||x-a||}}=theta</m> (wektor zerowy)
Jeżeli istnieje p. Frecheta w punkcie, to istnieją kierunkowe: <m>f prime_h{a}=f prime(a) h</m>
Jeżeli f. ma p.cząstkowe na pewnym otoczeniu punktu i są one ciągłe na swojej dziedzinie, to istnieje pochodna Frecheta o macierzy <m>A_{f}(a)</m>. Odwrotnie też jest.
<m>A_{f}(a)</m> to macierz Jacobiego dla odwzorowania f w punkcie a
w kolumnach są pochodne po kolejnych wersorach
w wierszach pochodne kolejnych elementów wektorów przestrzeni, do której działa f
pochodna Frecheta jest liniowa - addytywna i jednorodna
f jest klasy <m>C^r</m>, jeżeli istnieją na D wszystkie pochodne cząstkowe do rzędu r włącznie i są one ciągłe na swoich dziedzinach - Gradient i jego geometryczna interpretacja.
gradient to kierunek najszybszej zmiany wartości funkcji i jest to macierz pierwszych pochodnych cząstkowych w punkcie - używane oznaczenie:
<m>f(x_0, circ): bbR right bbR</m>
x0 jes stałe, y się zmienia - Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza.
jeżeli w pewnym otoczeniu poch. kier. II rzędu istnieją i są ciągłe, to <m>f_{kh}prime(a)=f_{hk}prime(a)</m> - Ekstrema lokalne.
<m>Delta_i(f,a)</m> - wyznacznik stopnia i, pochodnych II rzędu funkcji f, w wierszach zmienia się pierwsza zmienna, po której różniczkujemy, kolumnami - druga - Geometria analityczna
- iloczyn skalarny
- iloczyn wektorowy
- iloczyn mieszany
- równanie płaszczyzny
<m>delim{lbrace}{(x,y,z) in bbR^3: ax+by+cz+d=0}{rbrace}</m>, wektor [a,b,c] jest wtedy prostopadły do tej płaszczyzny - równanie prostej
- <m>delim{lbrace}{p_0+t vec{v} : t in bbR}{rbrace}</m>
- parametryczne
<m>delim{lbrace}{matrix{3}{1}{ {x=x_0 + ta}{y=y_0+tb}{z=z_0+tc} }}{~}</m>
dla <m>t in bbR</m> - równanie krawędziowe
część wspólna dwóch płaszczyzn - kierunkowe
l: <m>(x-x_0)/a = (y-y_0)/b = (z-z_0)/c</m>
- całka funkcji wielu zmiennych
- obszar normalny względem zmiennej
- obszar regularny
suma skończonej ilości obszarów normalnych o rozłącznych wnętrzach
- Elementy rachunku prawdopodobieństwa.
- Przestrzeń probabilistyczna i aksjomaty prawdopodobieństwa.
zdarzenie elementrane to element zbioru przestrzeni zdarzeń elementranych
zdarzenie (losowe) to zbiór zdarzeń elementranych, czyli każdy podzbiór Omegi - sigma ciało (<m>sigma</m>-ciało) podzioru przestrzeni zdarzeń
sigma ciało to każda rodzina F podzbioru <m>2^Omega</m> :- niepusta
- zawierająca zdarzenia przeciwne dla każdego ktore zawiera
- przeliczalne sumy zdarzeń są zdarzeniami
- Prawdopodobieństwo
każda funkcja P: F→R, taka że- <m>P(A) >= 0</m>
- <m>P(Omega) = 1</m>
- P(sumy zdarzen rozlacznych) = suma P tych zdarzen
- Przestrzeń probabilistyczna
Trójka uporządkowana
(<m>Omega</m>, F, P) - Prawdopodobieństwo geometryczne.
- Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
- Prawdopodobieństwo warunkowe.
- Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.
- Niezależność zdarzeń.
- Schemat Bernoulliego.
- Zmienne losowe dyskretne i ciągłe.
- Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej.
- Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej.
- Dystrybuanta.
- Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych.
- Najważniejsze rozkłady zmiennych losowych
