Matematyka III

  • Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.
    • Zbiory otwarte i punkty wewnętrzne zbioru.
      • kula
      • metryka
      • zbiór ograniczony
      • zbiór domknięty
        pochodna zbioru zawiera się w zbiorze
      • zbiór spojny
      • obszar
        spójny i otwarty
      • punkt
        • wewnętrzny
        • zewnętrzny
        • brzegowy
        • skupienia
          każde sąsiedztwo punktu zawiera punkty zbioru A
      • otoczenie i sąsiedztwo
    • Granica ciągu w <m>bbR^n</m>. Punkty skupienia.
      punkt q zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu
    • Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
    • pochodna kierunkowa
      <m>f prime_h(a)=lim{t right 0}{{f(a+t h)-f(a)}/t} = varphi prime(0)</m>
      pochodna kierunkowa jest jednorodna i addytywna
      istnienie pochodnych kierunkowych we wszystkich kierunkach nie implikuje ciągłości
      pochodną kierunkową znaleźć najłatwiej mnożąć gradient przez wektor kierunku!
    • Pochodne cząstkowe. Funkcje różniczkowalne i klasy C1.
    • pochodne kierunkowe w kierunku wersorów
    • pochodna mocna (Frecheta)
      <m>varphi</m> jest pochodną mocną, gddy
      <m>lim{x right a}{{f(x)-f(a)-varphi(x-a)}/{||x-a||}}=theta</m> (wektor zerowy)
      Jeżeli istnieje p. Frecheta w punkcie, to istnieją kierunkowe: <m>f prime_h{a}=f prime(a) h</m>
      Jeżeli f. ma p.cząstkowe na pewnym otoczeniu punktu i są one ciągłe na swojej dziedzinie, to istnieje pochodna Frecheta o macierzy <m>A_{f}(a)</m>. Odwrotnie też jest.
      <m>A_{f}(a)</m> to macierz Jacobiego dla odwzorowania f w punkcie a
      w kolumnach są pochodne po kolejnych wersorach
      w wierszach pochodne kolejnych elementów wektorów przestrzeni, do której działa f
      pochodna Frecheta jest liniowa - addytywna i jednorodna
      f jest klasy <m>C^r</m>, jeżeli istnieją na D wszystkie pochodne cząstkowe do rzędu r włącznie i są one ciągłe na swoich dziedzinach
    • Gradient i jego geometryczna interpretacja.
      gradient to kierunek najszybszej zmiany wartości funkcji i jest to macierz pierwszych pochodnych cząstkowych w punkcie
    • używane oznaczenie:
      <m>f(x_0, circ): bbR right bbR</m>
      x0 jes stałe, y się zmienia
    • Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza.
      jeżeli w pewnym otoczeniu poch. kier. II rzędu istnieją i są ciągłe, to <m>f_{kh}prime(a)=f_{hk}prime(a)</m>
    • Ekstrema lokalne.
      <m>Delta_i(f,a)</m> - wyznacznik stopnia i, pochodnych II rzędu funkcji f, w wierszach zmienia się pierwsza zmienna, po której różniczkujemy, kolumnami - druga
    • Geometria analityczna
      • iloczyn skalarny
      • iloczyn wektorowy
      • iloczyn mieszany
      • równanie płaszczyzny
        <m>delim{lbrace}{(x,y,z) in bbR^3: ax+by+cz+d=0}{rbrace}</m>, wektor [a,b,c] jest wtedy prostopadły do tej płaszczyzny
      • równanie prostej
        • <m>delim{lbrace}{p_0+t vec{v} : t in bbR}{rbrace}</m>
        • parametryczne
          <m>delim{lbrace}{matrix{3}{1}{ {x=x_0 + ta}{y=y_0+tb}{z=z_0+tc} }}{~}</m>
          dla <m>t in bbR</m>
        • równanie krawędziowe
          część wspólna dwóch płaszczyzn
        • kierunkowe
          l: <m>(x-x_0)/a = (y-y_0)/b = (z-z_0)/c</m>
    • całka funkcji wielu zmiennych
      • obszar normalny względem zmiennej
      • obszar regularny
        suma skończonej ilości obszarów normalnych o rozłącznych wnętrzach
  • Elementy rachunku prawdopodobieństwa.
    • Przestrzeń probabilistyczna i aksjomaty prawdopodobieństwa.
      zdarzenie elementrane to element zbioru przestrzeni zdarzeń elementranych
      zdarzenie (losowe) to zbiór zdarzeń elementranych, czyli każdy podzbiór Omegi
    • sigma ciało (<m>sigma</m>-ciało) podzioru przestrzeni zdarzeń
      sigma ciało to każda rodzina F podzbioru <m>2^Omega</m> :
      • niepusta
      • zawierająca zdarzenia przeciwne dla każdego ktore zawiera
      • przeliczalne sumy zdarzeń są zdarzeniami
    • Prawdopodobieństwo
      każda funkcja P: F→R, taka że
      • <m>P(A) >= 0</m>
      • <m>P(Omega) = 1</m>
      • P(sumy zdarzen rozlacznych) = suma P tych zdarzen
    • Przestrzeń probabilistyczna
      Trójka uporządkowana
      (<m>Omega</m>, F, P)
    • Prawdopodobieństwo geometryczne.
    • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
    • Prawdopodobieństwo warunkowe.
    • Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.
    • Niezależność zdarzeń.
    • Schemat Bernoulliego.
    • Zmienne losowe dyskretne i ciągłe.
    • Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej.
    • Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej.
    • Dystrybuanta.
    • Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych.
    • Najważniejsze rozkłady zmiennych losowych
przedmioty/matematyka_iii.txt · ostatnio zmienione: 2006/11/22 16:14 (edycja zewnętrzna)
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Minima Template by Wikidesign Driven by DokuWiki