Matematyka II
Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory i reguły całkowania.
Jeżeli f jest ciągła, to jest całkowalna. odwrotnie być nie musi.
Całkowanie przez część
<m>int{}{}{f(x)g(x)dx}=int{}{}{h prime(x)g(x)dx}=h(x)g(x)-int{}{}{h(x)g prime(x)dx}</m>
czyli
f g' fg-całk{g*f'}
f' g
w wyrażeniu podcałkowym potrzebny jest iloczyn dwóch funkcji takich, że umiemy scałkować iloczyn pochodnej pierwszej i całki drugiej lub całki pierwszej funkcji i pochodnej drugiej.
Całkowanie przez podstawienie
<m>(G f)prime=(G prime f)f prime=(g f)f prime</m>
pod całą potrzebne jest wyrażenie będące iloczynem złożenia łatwo całkowalnej funkcji z pewną funkcją i pochodnej tej drugiej funkcji.
Rozwiązywanie całek
całka z 1/{nierozkładalny trójmian} → arctg
rozkład na ułamki proste
jeżeli stopień licznika > mianownika → wydzielić wielomiany
Wzory rekurencyjne dla całek
podstawienia Eulera
Całki Abela
<m>1/sqrt{k pm x^2}</m>
podstawienia uniwersalne dla całkowania funkcji trygonometrycznych
Całka oznaczona (Riemanna). Definicja, własności, interpretacja geometryczna.
Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego. Zastosowania całek. Całka niewłaściwa.
podział przedziału
podział normalny
wartościowanie podziału
średnica podziału
suma całkowa (suma Riemmana)
<m>Sigma(f,P,T(P))=sum{1..n}{}{f(t_i)(x_i-x_{i-1})}</m>
granica tego przy <m>n right inf</m> jest całką oznaczoną
funckja Dirichleta. 1 dla Q, 0 dla pozostałych
funkcja górnej granicy całkowania
pochodna funkcji górnej granicy całkowania po zmiennej będącej górną granicą całkowania jest wyrażeniem podcałkowym
tw. Newtona-Leibnitza
całka oznaczona jest różnicą funkcji pierwotnych wyrażenia podcałkowego na krańcach
całkowanie przez podstawienie
<m>int{a}{b}{g(f)f}=int{f(a)}{f(b)}{g}</m>
wartość średnia funkcji
Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe, szeregi Taylora i Maclaurina. Szeregi zespolone. Wzór Eulera.
szereg potęgowy
<m>f_n(x)=a_n (x-x_0)^n</m>
<m>S_n(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + …</m>
szereg potęgowy jest zawsze zbieżny w swoim środku
tw. Abela
jeśli s.p jest zbieżny w pewnym punkcie, to na pewno jest zbieżny dla wszystkich punktów bliższych środkowi szeregu
jeśli s.p jest rozbieżny w pewnym punkcie, to na pewno
jest rozzbieżny dla wszystkich punktów dalszych środkowi szeregu
tw. o promieniu zbieżności szeregu potęgowego
<m>lim{n right inf}{delim{|}{a_n}{|}^{1/n}}=lim{n right inf}{delim{|}{a_{n+1}}{|}/delim{|}{a_n}{|}}=g</m>
<m>r = 1/g</m>
rozwinięcie w szereg jest jednoznaczne
wzór eulera
<m>e^{i z}=cos(z)+i sin(z)</m>
szereg potęgowy można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie
zastosowanie całek
Macierze. Działania na macierzach. Wyznaczniki. Macierz odwrotna.
Macierz kwadratową można przedstawić jednoznacznie jako sumę symetrycznej i antysymetrycznej
dopełnienie algebraiczne elementu macierzy
twierdzenie Laplace'a
o rozwijanie wyznacznika względem pewnego wiersza
metoda Sarrusa
metoda Chio
wyznacznik Vandermonde'a
tw. Cauchy'ego
Wyznacznik iloczynu dwu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności ogólnego układu równań liniowych jest równość rzędu macierzy W współczynników układu i rzędu macierzy uzupełnionej U:
macierz odwrotna do macierzy
<m>A^{-1} = 1 / {det A} delim{[}{D_{i j}}{]}^T</m>
rząd macierzy
stopień największego niezerowego wyznacznika, który da się utworzyć z macierzy
Układy równań liniowych. Twierdzenie Cramera.
Jeśli wyznacznik macierzy współczynników układu jest niezerowy, to taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
układy równań równoważnych
postać zredykuwana macierzy
rozwiąznywanie
Metoda eliminacji Gaussa.
Elementy algebry liniowej.
Przestrzeń liniowa, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej. Przekształcenia liniowe, jądro i obraz.
przestrzeń liniowa to czwórka uporządkowana V, K, +, *
podprzestrzeń
zbiór rozwiązań układu jednorodnego m równań liniowych z n niewiadomymi jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R^n
liniowa kombinacja wektorów
powłoka liniowa rozpięta na wektorach
liniowa niezależność wektorów
baza przestrzeni: wektory lnz, na których jest rozpięta przestrzeń
baza kanoniczna: (1, 0, 0, …), (0, 1, 0, 0, …), …
współrzędne wektora w bazie
wymiar: liczba wektorów bazy
przekształcenia liniowe
(addytywne i jednorodne)
jądro odwzorowania liniowego (Ker)
to przeciwobraz wektora zerowego przestrzeni wartości odwzorowania
izomorfizmy
odwzorowanie liniowe i bijekcja
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni.
Iloczyn skalarny i wektorowy. Równanie płaszczyzny i równania prostej.
równanie parametryczne prostej
postać krawędziowa prostej
równanie ogólne płaszczyzny
równanie płaszczyzny w postaci normalnej
badanie przebiegu zmienności funkcji
asymptoty
dziedzina
asmyptoty
przedziały monotoniczności, ekstrema
przedziały wypukłości, punkty przegięcia
tabelka, wykres
przedmioty/matematyka_ii.txt · ostatnio zmienione: 2006/06/10 16:38 (edycja zewnętrzna)
