Matematyka II

  • Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory i reguły całkowania.
    Jeżeli f jest ciągła, to jest całkowalna. odwrotnie być nie musi.
  • Całkowanie przez część
    <m>int{}{}{f(x)g(x)dx}=int{}{}{h prime(x)g(x)dx}=h(x)g(x)-int{}{}{h(x)g prime(x)dx}</m>
    czyli
    f g' fg-całk{g*f'}
    f' g

    w wyrażeniu podcałkowym potrzebny jest iloczyn dwóch funkcji takich, że umiemy scałkować iloczyn pochodnej pierwszej i całki drugiej lub całki pierwszej funkcji i pochodnej drugiej.
  • Całkowanie przez podstawienie
    <m>(G f)prime=(G prime f)f prime=(g f)f prime</m>
    pod całą potrzebne jest wyrażenie będące iloczynem złożenia łatwo całkowalnej funkcji z pewną funkcją i pochodnej tej drugiej funkcji.
  • Rozwiązywanie całek
    • całka z 1/{nierozkładalny trójmian} → arctg
    • rozkład na ułamki proste
    • jeżeli stopień licznika > mianownika → wydzielić wielomiany
    • Wzory rekurencyjne dla całek
    • podstawienia Eulera
    • Całki Abela
      <m>1/sqrt{k pm x^2}</m>
    • podstawienia uniwersalne dla całkowania funkcji trygonometrycznych
  • Całka oznaczona (Riemanna). Definicja, własności, interpretacja geometryczna.
    Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego. Zastosowania całek. Całka niewłaściwa.
    • podział przedziału
    • podział normalny
    • wartościowanie podziału
    • średnica podziału
    • suma całkowa (suma Riemmana)
      <m>Sigma(f,P,T(P))=sum{1..n}{}{f(t_i)(x_i-x_{i-1})}</m>
      granica tego przy <m>n right inf</m> jest całką oznaczoną
    • funckja Dirichleta. 1 dla Q, 0 dla pozostałych
    • funkcja górnej granicy całkowania
      pochodna funkcji górnej granicy całkowania po zmiennej będącej górną granicą całkowania jest wyrażeniem podcałkowym
    • tw. Newtona-Leibnitza
      całka oznaczona jest różnicą funkcji pierwotnych wyrażenia podcałkowego na krańcach
    • całkowanie przez podstawienie
      <m>int{a}{b}{g(f)f}=int{f(a)}{f(b)}{g}</m>
    • wartość średnia funkcji
  • Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe, szeregi Taylora i Maclaurina. Szeregi zespolone. Wzór Eulera.
    • szereg potęgowy
      <m>f_n(x)=a_n (x-x_0)^n</m>
      <m>S_n(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + …</m>
    • szereg potęgowy jest zawsze zbieżny w swoim środku
    • tw. Abela
      jeśli s.p jest zbieżny w pewnym punkcie, to na pewno jest zbieżny dla wszystkich punktów bliższych środkowi szeregu
      jeśli s.p jest rozbieżny w pewnym punkcie, to na pewno
      jest rozzbieżny dla wszystkich punktów dalszych środkowi szeregu
    • tw. o promieniu zbieżności szeregu potęgowego
      <m>lim{n right inf}{delim{|}{a_n}{|}^{1/n}}=lim{n right inf}{delim{|}{a_{n+1}}{|}/delim{|}{a_n}{|}}=g</m>
      <m>r = 1/g</m>
    • rozwinięcie w szereg jest jednoznaczne
    • wzór eulera
      <m>e^{i z}=cos(z)+i sin(z)</m>
    • szereg potęgowy można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie
  • zastosowanie całek
    • oblicza pól
    • obliczanie długości krzywych
    • obliczenia objętości i pól powierzchni
  • Macierze. Działania na macierzach. Wyznaczniki. Macierz odwrotna.
    • Macierz kwadratową można przedstawić jednoznacznie jako sumę symetrycznej i antysymetrycznej
    • dopełnienie algebraiczne elementu macierzy
    • twierdzenie Laplace'a
      o rozwijanie wyznacznika względem pewnego wiersza
    • metoda Sarrusa
    • metoda Chio
    • wyznacznik Vandermonde'a
    • tw. Cauchy'ego
      Wyznacznik iloczynu dwu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy.
    • Twierdzenie Kroneckera-Capellego
      Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności ogólnego układu równań liniowych jest równość rzędu macierzy W współczynników układu i rzędu macierzy uzupełnionej U:
    • macierz odwrotna do macierzy
      <m>A^{-1} = 1 / {det A} delim{[}{D_{i j}}{]}^T</m>
    • rząd macierzy
      stopień największego niezerowego wyznacznika, który da się utworzyć z macierzy
  • Układy równań liniowych. Twierdzenie Cramera.
    • Jeśli wyznacznik macierzy współczynników układu jest niezerowy, to taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
    • układy równań równoważnych
    • postać zredykuwana macierzy
    • rozwiąznywanie
      • metoda macierzowa
        pomnożenie obu stron przez <m>A^-1 circ</m>
      • metoda Gaussa
      • metoda Crammera
  • Metoda eliminacji Gaussa.
  • Elementy algebry liniowej.
    Przestrzeń liniowa, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej. Przekształcenia liniowe, jądro i obraz.
    • przestrzeń liniowa to czwórka uporządkowana V, K, +, *
    • podprzestrzeń
    • zbiór rozwiązań układu jednorodnego m równań liniowych z n niewiadomymi jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R^n
    • liniowa kombinacja wektorów
    • powłoka liniowa rozpięta na wektorach
    • liniowa niezależność wektorów
    • baza przestrzeni: wektory lnz, na których jest rozpięta przestrzeń
    • baza kanoniczna: (1, 0, 0, …), (0, 1, 0, 0, …), …
    • współrzędne wektora w bazie
    • wymiar: liczba wektorów bazy
    • przekształcenia liniowe
      (addytywne i jednorodne)
    • jądro odwzorowania liniowego (Ker)
      to przeciwobraz wektora zerowego przestrzeni wartości odwzorowania
    • izomorfizmy
      odwzorowanie liniowe i bijekcja
  • Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni.
    Iloczyn skalarny i wektorowy. Równanie płaszczyzny i równania prostej.
    • równanie parametryczne prostej
    • postać krawędziowa prostej
    • równanie ogólne płaszczyzny
    • równanie płaszczyzny w postaci normalnej
  • badanie przebiegu zmienności funkcji
  • asymptoty
    • dziedzina
    • asmyptoty
    • przedziały monotoniczności, ekstrema
    • przedziały wypukłości, punkty przegięcia
    • tabelka, wykres
przedmioty/matematyka_ii.txt · ostatnio zmienione: 2006/06/10 16:38 (edycja zewnętrzna)
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Minima Template by Wikidesign Driven by DokuWiki